一、刀具补偿的提出 
用立铣刀在数控机床上加工工件（如图1所示），可以清楚看出刀具中心运动轨计与工件轮廓不重合，这是因为工件轮廓是立铣刀运动包络形成的。立铣刀的中心称为刀具的刀位点（4、5坐标数控机床称为刀位矢量），刀位点的运动轨计即代表刀具的运动轨迹。在数控加工中，是按工件轮廓尺寸编制程序，还是按刀位点的运动轨迹尺寸编制程序，这要根据具体情况来处理。
图1 数控机床立铣刀加工
在全功能数控机床中，数控系统有刀具补偿功能，可按工件轮廓尺寸进行编制程序，建立、执行刀补后，数控系统自动计算，刀位点自动调整到刀具运动轨迹上。直接利用工件尺寸编制加工程序，刀具磨损，更换加工程序不变，因此使用简单、方便。
经济型数控机床结构简单，售价低，在生产企业中有一定的拥有量。在经济型数控机床系统中，如果没有刀具补偿功能，只能按刀位点的运动轨迹尺寸编制加工程序，这就要求先根据工件轮廓尺寸和刀具直径计算出刀位点的轨迹尺寸。因此计算量大、复杂，且刀具磨损、更换需重新计算刀位点的轨迹尺寸，重新编制加工程序。
二、全功能数控机床系统中刀具补偿
1．数控车床刀具补偿
数控车床刀具补偿功能包括刀具位置补偿和刀具圆弧半径补偿两方面。在加工程序中用T功能指定，TXXXX中前两个XX为刀具号，后两个XX为刀具补偿号，如T0202。如果刀具补偿号为00，则表示取消刀补。
（1）刀具位置补偿　刀具磨损或重新安装刀具引起的刀具位置变化，建立、执行刀具位置补偿后，其加工程序不需要重新编制。办法是测出每把刀具的位置并输入到指定的存储器内，程序执行刀具补偿指令后，刀具的实际位置就代替了原来位置。
如图2所示的加工情况，如果没有刀具补偿，刀具从0点移动到1点，对应程序段是N60 G00 C45 X93 T0200，如果刀具补偿是X=+3，Z=+4，并存入对应补偿存储器中，执行刀补后，刀具将从0点移动到2点，而不是1点，对应程序段是N60 G00 X45 Z93 T0202。
图2 某加工状态
（2）刀具圆弧半径补偿　编制数控车床加工程序时，车刀刀尖被看作是一个点（假想刀尖P点），但实际上为了提高刀具的使用寿命和降低工件表面粗糙度，车刀刀尖被磨成半径不大的圆弧（刀尖AB圆弧），如图3所示，这必将产生加工工件的形状误差。另一方面，刀尖圆弧所处位置，车刀的形状对工件加工也将产生影响，而这些可采用刀具圆弧半径补偿来解决。车刀的形状和位置参数称为刀尖方位，如图4所示，用参数0～9表示，P点为理论刀尖点。
图3 刀尖圆弧
图4 刀尖方位
（3）刀补参数　每一个刀具补偿号对应刀具位置补偿（X和Z值）和刀具圆弧半径补偿（R和T值）共4个参数，在加工之前输入到对应的存储器，CRT上显示如图5所示。在自动执行过程中，数控系统按该存储器中的X、Z、R、T的数值，自动修正刀具的位置误差和自动进行刀尖圆弧半径补偿。
图5 CRT显示的内容
2．加工中心、数控铣床刀具补偿
加工中心、数控铣床的数控系统，刀具补偿功能包括刀具半径补偿、夹角补偿和长度补偿等刀具补偿功能。
（1）刀具半径补偿（G41、G42、G40）　刀具的半径值预先存入存储器HXX中，XX为存储器号。执行刀具半径补偿后，数控系统自动计算，并使刀具按照计算结果自动补偿。刀具半径左补偿（G41）指刀具偏向编程加工轨迹运动方向的左方（如图1所示），刀具半径右补偿（G42）指刀具偏向编程加工轨迹运动方向的右方。取消刀具半径补偿用G40，取消刀具半径补偿也可用H00。
使用中需注意：建立、取消刀补时，即使用G41、G42、G40指令的程序段必须使用G00或G01指令，不得使用G02或G03,当刀具半径补偿取负值时，G41和G42的功能互换。
刀具半径补偿有B功能和C功能两种补偿形式。由于B功能刀具半径补偿只根据本段程序进行刀补计算，不能解决程序段之间的过渡问题，要求将工件轮廓处理成圆角过渡，因此工件尖角处工艺性不好，C功能刀具半径补偿能自动处理两程序段刀具中心轨迹的转接，可完全按照工件轮廓来编程，因此现代CNC数控机床几乎都采用C功能刀具半径补偿。这时要求建立刀具半径补偿程序段的后续两个程序段必须有指定补偿平面的位移指令（G00、G01，G02、G03等），否则无法建立正确的刀具补偿。
（2）夹角补偿 （G39）　 两平面相交为夹角，可能产生超程过切，导致加工误差，可采用夹角补偿（G39)来解决。使用夹角补偿(G39)指令时需注意，本指令为非模态的，只在指令的程序段内有效，只能在G41和G42指令后才能使用。
（3）刀具长度偏置（G43、G44、G49）　利用刀具长度偏置（G43、G44）指令可以不改变程序而随时补偿刀具长度的变化，补偿量存入由H码指令的存储器中。G43表示存储器中补偿量与程序指令的终点坐标值相加，G44表示相减，取消刀具长度偏置可用G49指令或H00指令。程序段N80 G43 Z56 H05与中，假如05存储器中值为16，则表示终点坐标值为72mm。
存储器中补偿量的数值，可用MDI或DPL预先存入存储器，也可用程序段指令G10 P05 R16.0表示在05号存储器中的补偿量为16mm。
三、经济型数控机床中刀具轨迹的计算
经济型数控机床系统，如果没有刀具补偿指令，则只能计算出刀位点的运动轨迹尺寸，然后按此编程，或者进行局部补偿加工。
1．刀具中心（刀位点）轨迹的计算
在需要计算刀具中心轨迹的数控系统中，要算出与零件轮廓的基点和节点对应的刀具中心上基点和节点的坐标。图1所示为用φ8立铣刀加工工件曲线时的刀具中心运动轨迹。可以看出，刀具运动轨迹是零件轮廓的等距线，由零件轮廓和刀具半径可求出。
直线的等距线方程：
所求等距线在原直线上边时，取“＋”号，反之取“-”号。
圆的等距线方程：
所求等距线为外等距线时，取“＋”号，反之取“－”号。
求解等距线上的基点坐标，只需将相关等距线方程联立求解。例求3′点的坐标，2点坐标（40，85），3点坐标（70，105）。
A=y2-y3=-20　
B=x3-x2=30 
C=x3y2-ybx2=1750
求出圆心坐标为 （85，105）。
两等距线方程联立：
-20x+30y=1750+144.222
(x-85)+(y-105)=(15+4)　　　　　　
解出 x=66.134　y=107.231
即3′点的坐标为（66.34，107.231），刀具中心轨迹上其他基点或节点的坐标用相同的方法可求出，然后按此编程。
2.数控车床假想刀尖点的偏置计算
在数控车削加工中，为了对刀方便，常以假想刀尖P点来对刀。如果没有刀尖圆弧半径补偿，在车削锥面或圆弧时，会产生欠切现象。当零件精度要求较高且有锥面或圆弧时，解决办法为：计算刀尖圆弧中心轨迹尺寸，然后按此编积，进行局部补偿计算。